代表技術通信～PointNetを使い倒す⑥

こんばんは。代表の草場です。

普遍性定理のQiita記事に関して、数学的な証明が必要とのことで、調べなおしております。
位相空間論
測度論・積分論
関数解析学
が必要ですが、どれも学生時代に全然わからなかったやつです。

優収束定理、Hahn-Banachの拡張定理、Riesz-Markov-角谷の表現定理、Stone-Weierstrassの定理を理解する必要があります。いやー、まじわからん。
ルベーグ積分の基礎のキソ、を少し読んでみましたが、相変わらずわからず。。。なんか不連続な関数でも積分できる的な認識しかなかったです。ちゃんと勉強しないと。
取り急ぎWikipediaによると、

リーマン積分による方法
ケーキを切るときのように、山を縦方向に切り分けて細分する。このとき、各パーツの底面は長方形になるようにする。次に、各パーツで最も標高が高いところを調べ、底面の面積とその標高を掛け合わせる。各パーツごとに計算したその値を足したものを、上リーマン和と呼ぶことにする。同様のことを、最も標高が低いところに対して行い、下リーマン和と呼ぶことにする。分割を細かくしていったときに、上・下のリーマン和が同じ値に収束するときに、リーマン積分可能であるといい、その極限値が山の体積になる。

ルベーグ積分による方法
山の等高線を地図にする。等高線にそって地図を裁断して、地図をいくつかのパーツに分解する。各パーツは面積を計算できる平面図形なので（測度が分かっているので）、パーツの面積とそのパーツの最も低い点の標高を掛け合わせる。各パーツのこの値を足したものを「ルベーグ和」と呼ぶことにする。この「ルベーグ和」はルベーグ積分の構成にあった、単関数の積分に相当する。等高線の間隔を半分にしていったときの「ルベーグ和」の極限値が山の体積になる。

ここはわかるが、はー、勉強が必要です。。